隨著(zhù)拋光、打磨工藝自動(dòng)化水平的不斷提高，并、混聯(lián)機器人機構廣泛應用于拋光、打磨等工藝，其中3UPS-UP機器人機構應用較為廣泛，許多專(zhuān)家學(xué)者都對該機構進(jìn)行了研究。例如：天津大學(xué)的王友漁對3UPS-UP機器人機構的剛度進(jìn)行了解析建模分析[1]；北京工業(yè)大學(xué)的卿建喜、李劍鋒等對冗余驅動(dòng)Tricept并聯(lián)機構進(jìn)行了驅動(dòng)優(yōu)化和奇異性分析[2,3]；天津大學(xué)的王玉茹等對Tricept并聯(lián)機器人的運動(dòng)學(xué)理論進(jìn)行了論述[4]；河北工程大學(xué)的劉健對剛柔協(xié)作攪拌摩擦焊機器人機構進(jìn)行了設計與性能研究[5]。筆者擬基于3CD-3UPS-UP剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構，通過(guò)改變其繩索的數量及位置分布，得到3種不同的剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構，并對它們進(jìn)行運動(dòng)學(xué)分析，求取量綱統一速度雅克比矩陣；同時(shí)，分析3種剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構在不同工作高度下的各項性能指標并進(jìn)行對比。

剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構由3UPS-UP剛性部分和繩索部分組成。如圖1所示，Ai(i=1,2,3）表示剛性部分動(dòng)平臺的鉸點(diǎn)，Bi(i=1,2,3）表示剛性部分定平臺的鉸點(diǎn)，Cj/Dj/Ej(j=1,2,3/j=1,2,3,4/j=1,2,3,4,5）表示繩索部分定平臺的鉸點(diǎn)，其中剛性部分動(dòng)、定平臺的鉸點(diǎn)呈正三角形分布，繩索部分定平臺的鉸點(diǎn)呈正三角形、正方形、正五邊形分布。分別以剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構各平臺的幾何中心為原點(diǎn)構建基坐標系O-x′y′z′、局部坐標系A-uvw和全局坐標系B-xyz。將拋光、打磨設備放置在剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構動(dòng)平臺幾何中心A處。

令△B1B2B3和△A1 A2 A3的外接圓半徑分別為b和a，則鉸點(diǎn)Ai在局部坐標系A-uvw下的位置矢量為：

鉸點(diǎn)Bi在全局坐標系B-xyz下的位置矢量為：

設局部坐標系A-uvw到全局坐標系B-xyz的旋轉矩陣為R，則鉸點(diǎn)Ai在全局坐標系B-xyz下的位置矢量ai=RaiA。令點(diǎn)A在全局坐標系B-xyz下的位置矢量r=[x y z]T，根據封閉矢量法[6,7]可得3UPS-UP剛性部分的閉環(huán)矢量方程為：

其中：

式中：qi——支鏈i的長(cháng)度；

qi——支鏈i的單位方向向量。

由此可得3UPS-UP剛性部分的位置逆解為：

令3種剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構繩索部分定平臺的外接圓半徑為n，則鉸點(diǎn)Cj/Dj/Ej在基坐標系O-x'y'z'下的位置矢量分別為：

令點(diǎn)A在基坐標系O-x′y′z′下的位置矢量分別為：

根據封閉矢量法，可得繩索數量分別為3,4,5時(shí)繩索部分的閉環(huán)矢量方程為：

其中：

式中：l3j、l4j、l5j——繩索數量分別為3,4,5時(shí)繩索j的長(cháng)度；

u3j、u4j、u5j——繩索數量分別為3,4,5時(shí)繩索j的單位方向向量。

由此可得繩索數量分別為3,4,5時(shí)繩索部分的位置逆解為：

剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構可拆分為3UPS、UP支鏈及繩索三部分，分別求各部分的速度雅可比矩陣，進(jìn)而求得其量綱統一速度雅可比矩陣。為方便表示，此節的公式中用s表示sin，用c表示cos。

對式（3）求導[8]可得：

式中：w——動(dòng)平臺的角速度；

v——點(diǎn)A的線(xiàn)速度；

wqi——支鏈i的角速度；

vqi——支鏈i的移動(dòng)副的移動(dòng)速度。

鑒于qiT(wqi×qi)=0，在式（13）左右兩端同時(shí)左點(diǎn)乘qiT，可得：

式（14）的矩陣形式為：

其中：

式中：Jq——3UPS的速度雅可比矩陣。

構建UP支鏈的D-H坐標系，如圖2所示。UP支鏈的結構參數如表1所示，表中：θg為連桿關(guān)節角度，dg為連桿偏距，φg為連桿長(cháng)度，αg為連桿轉角?？蓪P支鏈中的虎克鉸U看成2個(gè)轉動(dòng)副R，則UP支鏈可看作R-R-P鏈，θ1和θ2為2個(gè)轉動(dòng)副R的轉角，d3為移動(dòng)副P(pán)的位移。

UP支鏈各連桿坐標系之間的變換矩陣為：

其中：

由上文可知R=40R,r=40p，可得：

聯(lián)立各式可得：

由于關(guān)節0不轉動(dòng)，由微分變換法[9]得UP支鏈的速度雅克比矩陣為：

對式（10）求導，可得繩索數量為3,4,5時(shí)點(diǎn)A的線(xiàn)速度分別為：

式中：v3j、v4j、v5j——繩索數量分別為3,4,5時(shí)繩索j的伸縮速度；

w3j、w4j、w5j——繩索數量分別為3,4,5時(shí)繩索j的角速度。

式（19）左右兩側分別左乘uT3j、uT4j、uT5j，得：

聯(lián)立各式可得：

式中：Jr3、Jr4、Jr5——繩索數量為3,4,5時(shí)繩索部分的速度雅可比矩陣。

令Jp的前3行為Jp1，則可得：

式（21）左右兩側同時(shí)左點(diǎn)乘J p1-1后整理可得：

基于式（18）的后3行，同理可得：

聯(lián)立式（22）和式（23）可得：

其中：

聯(lián)立式（15）、式（16）和式（24）可得剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構剛性部分的量綱統一速度雅克比矩陣為：

其中：

設T為基坐標系O-x'y'z'到全局坐標系B-xyz的旋轉矩陣，令：

可得：

式中：Jgr3、Jgr4、Jgr5——繩索數量為3,4,5時(shí)剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的量綱統一速度雅可比矩陣。

剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的工作空間[10,11,12]受剛性部分支鏈的長(cháng)度和運動(dòng)副轉角的約束。剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的結構參數如表2所示，其中：h為2個(gè)定平臺之間的距離，qmin為UPS支鏈的小伸縮長(cháng)度，r為UPS支鏈大伸縮長(cháng)度和小伸縮長(cháng)度的比值，β1為虎克鉸的大轉角，β2為球鉸的大轉角。

以?huà)伖?、打磨設備的放置點(diǎn)A為參考點(diǎn)，通過(guò)MATLAB軟件編程計算得到不考慮繩索部分時(shí)剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的工作空間，如圖3所示。

從圖3可以看出，該剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的工作空間連續且沒(méi)有空洞，說(shuō)明在該工作空間內拋光、打磨運動(dòng)的連續性較好。

通過(guò)建立剛度矩陣[13,14]來(lái)對剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的剛度進(jìn)行表征。

式中：J——剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的量綱統一速度雅克比矩陣，即上文的Jgr3、Jgr4和Jgr5;

KJ——剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的剛度矩陣，KJ=diag[q1 q2?qm]，其中qm為第m個(gè)驅動(dòng)副的關(guān)節剛度。

以剛度矩陣的對角線(xiàn)數值之和LSI為剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的剛度指標：LSI越大表明該機構在工作時(shí)抵抗變形的能力越強，精度越高。設剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構剛性部分的剛度Gg=1000 N/mm，繩索部分的剛度Gr=500 N/mm，通過(guò)計算得到不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構（繩索的數量和位置分布不同）的剛度，如圖4所示。

由圖4可知：不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的剛度均隨工作高度z的增大而減??；不同工作高度z下，不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的大剛度均在x=0mm,y=0 mm處出現，小剛度均在機構所能到達的邊緣處出現；隨著(zhù)繩索數量的增加，剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的剛度有所增大，更適用于拋光、打磨等工藝。

剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的全域剛度可表示為[15,16]:

式中：W——剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的工作空間。

通過(guò)計算可知，3CD-3UPS-UP的全域剛度GSI3=5 127.2,4CD-3UPS-UP的全域剛度GSI4=5 627.2,5CD-3UPS-UP的全域剛度GSI5=6 127.2。對比可知：繩索的數量和位置分布不同時(shí)剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的全域剛度不同；隨著(zhù)繩索數量的增加，剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的全域剛度增大，更適用于拋光、打磨等工藝。

將量綱統一速度雅克比矩陣條件數的倒數作為靈巧性的度量[17,18,19,20]，即靈巧度，可表示為：

其中：

式中：k(J)——量綱統一速度雅克比矩陣的條件數。

力雅克比矩陣與量綱統一速度雅克比矩陣之間的關(guān)系為：

式中：G——力雅克比矩陣。

則有：

式中：σ(J)——量綱統一速度雅克比矩陣的奇異值；

σ(G)——力雅克比矩陣的奇異值。

靈巧度越接近1表明剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的運動(dòng)傳遞性能越佳。不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的靈巧度如圖5所示。

由圖5可知：不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的靈巧度均隨工作高度z的增大而減??；不同工作高度z下，不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的大靈巧度均在x=0 mm,y=0 mm處出現，小靈巧度均在機構所能到達的邊緣處出現；隨著(zhù)繩索數量的增加，剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構在x=0 mm,y=0 mm附近的靈巧度稍有減小，其余部分靈巧度有所增大。

剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的全域靈巧度可表示為[21]:

通過(guò)計算可得，3CD-3UPS-UP的全域靈巧度GCI3=0.7117,4CD-3UPS-UP的全域靈巧度GCI4=0.772 2,5CD-3UPS-UP的全域靈巧度GCI5=0.800 1。對比可知：繩索的數量和位置分布不同時(shí)剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的全域靈巧性不同；隨著(zhù)繩索數量的增加，剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的全域靈巧性增強，更適用于拋光、打磨等工藝。

為實(shí)現剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的靈活運動(dòng)，需考慮靈巧性的約束，工作空間內靈巧度大于GCI的點(diǎn)的集合為剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構考慮靈巧性的工作空間。不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構考慮靈巧性的工作空間如圖6所示。

由圖6可知：不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構考慮靈巧性的工作空間不同；隨著(zhù)繩索數量的增加，剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構考慮靈巧性的工作空間不斷減小，不利于拋光、打磨等工藝。

綜合考慮剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的各項性能指標可知，繩索的數量和位置分布不同時(shí)，剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的剛度、全域剛度、靈巧性、全域靈巧性以及考慮靈巧性的工作空間是不同的。因此當剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構用于拋光、打磨等工藝時(shí)，應根據實(shí)際工況選擇合適數量的繩索進(jìn)行布置：當主要工作高度為600 mm左右且對剛度和靈巧性的要求比較低時(shí)，使用3根繩索進(jìn)行布置；當主要工作高度為530 mm左右且對剛度和靈巧性要求不是特別高時(shí)，使用4根繩索進(jìn)行布置；當主要工作高度為490mm左右且對剛度和靈巧性的要求較高時(shí)，使用5根繩索進(jìn)行布置。

針對拋光、打磨等連續接觸式作業(yè)的要求，基于剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構，開(kāi)展了如下工作：

1）建立了繩索的數量和位置分布不同的剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的運動(dòng)學(xué)模型，運用對位置逆解求導的方法得到了3UPS和繩索部分的速度雅克比矩陣；建立了UP支鏈的D-H坐標系，運用微分變換法求得UP支鏈的速度雅克比矩陣；求得了不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的量綱統一速度雅克比矩陣。

2）根據剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的量綱統一速度雅克比矩陣，通過(guò)MATLAB軟件求得了該機構的剛度、全域剛度、靈巧性、全域靈巧性以及考慮靈巧性的工作空間等性能指標。

3）通過(guò)對剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構各性能指標的對比分析可知，當剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構執行對工作高度、剛度及靈巧性的要求不同的拋光、打磨工藝時(shí)，應當根據實(shí)際工況需求來(lái)選擇線(xiàn)索的數量和位置分布。